Séminaire d'Algèbre et Logique - Archives
Année 2019-2020- 13 mars 2020:
Damien LEFEVRE, Théorème et nombres de Ramsey
    Résumé: Le théorème de Ramsey affirme que pour tout choix de c couleurs et pour tous naturels non nuls N1, ..., Nc il existe n tel que pour tout coloriage avec c couleurs du graphe complet à n sommets, celui-ci possède un sous-graphe complet d'ordre Nk monochromatique (pour un certain k compris entre 1 et c). Le plus petit n vérifiant cette propriété sera appelé nombre de Ramsey associé à N1, ..., Nc et noté R(N1, ..., Nc). Durant cet exposé, nous prouverons ce théorème et nous calculerons plusieurs nombres de Ramsey, dont R(4, 4). - 21 février et 6 mars 2020:
Nathanaël MARIAULE, Rationalité de la série de Poincaré associée aux zéros p-adiques d'un système polynomial.
    Résumé: Soient f_1,..., f_n des polynômes avec m variables et coefficients dans les entiers p-adiques. Soit N_k le nombre de zéros de ce système modulo p^n. La série formelle dont les coefficients sont les N_k est appelée série de Poincaré. Un resultat de Igusa (puis Meuser) montre que cette série est rationnelle i.e. quotient de polynômes. En 1984, J. Denef utilise de la théorie des modèles des nombres p-adiques pour démontrer une version plus générale de ce résultat. Dans cet exposé, je présenterai les idées principales de la preuve de Denef. - 28 février 2020:
Vincent BAGAYOKO, Forme normale de Conway: les nombres surréels en tant que séries.
    Résumé: Dans cet exposé, j'expliquerai comment tout nombre surréel peut être vu de manière canonique comme une série généralisée de type série de Hahn. On discutera de ce que cette présentation sérielle dit sur la structrure des nombres surréels. - 7, 14 et 21 février 2020:
James MAIN, Mots infinis et logique monadique du second ordre des naturels avec le successeur
    Résumé: Büchi a démontré en 1962 que la théorie monadique du deuxième ordre de (N, S) est décidable. Son approche utilise des automates sur des mots infinis dits automates de Büchi. Au cours de ces exposés, je présenterai ces automates sur les mots infinis et introduirai la logique du deuxième ordre. Ensuite, je montrerai un théorème liant les automates de Büchi aux énoncés en logique monadique du deuxième ordre. J'utiliserai ce théorème pour argumenter le résultat de décidabilité mentionné précédemment - 29 novembre et 13 décembre 2019:
Françoise POINT, Nullstellensatz et indécidabilité dans les anneaux de suites à coéfficients dans un corps, munis du shift
    Résumé: Je commencerai par démontrer le resultat d'indécidabilité de cet anneau de différence et indiquerai comment on peut le généraliser dans des anneaux de Bézout. Ensuite je rappelerai le "Nullstellensatz" dans le cas des corps et expliquerai quel est le résultat dans cet anneau des suites sur le corps des complexes. -
Maja VOLKOV, Théorème de Lindemann-Weierstrass
15 et 22 novembre 2019:
    Résumé: Présentation d'une preuve du théorème de Lindemann-Weierstrass. - 8 novembre 2019:
Quentin LAMBOTTE, Expansions superstables de (Z,+,0). (2/2)
    Suite de l'exposé du 11 octobre. - 18 et 25 octobre 2019:
Nathanaël MARIAULE, Version Asymptotique de la conjecture de Lindemann-Weierstrass p-adique.
    Résumé: Le théorème de Lindemann-Weierstrass est un résutat de théorie des nombres qui dit que si a1,...,an sont des nombres algébriques linéairement indépendants sur les rationnels alors exp(a1),...,exp(an) ne satisfont pas de relations polynomiales sur Q (non-triviales). Dans le contexte p-adique, ce type de résultat n'est connu que pour n=1 et reste à l'état de conjecture dans le cas général. Dans cet exposé, nous verrons comment utiliser deux résultats classiques de théorie des modèles (le Théorème d'Ax-Kochen-Ershov et le Théorème d'Ax sur les corps differentiels) pour montrer le résultat suivant: Soient a1,...,an algébriques, linéairement indépendants sur Q, soient Ep(a1),..., Ep(an) leur exponentielle p-adique et P(X1,...,Xn) un polynome sur Q. Alors si p est suffisament grand, P(Ep(a1),..., Ep(an)) est non-nul. -
11 octobre 2019:
Quentin LAMBOTTE, Expansions superstables de (Z,+,0). (1/2)
    Résumé: Soit (rn) une suite strictement croissante de nombres naturels. Je dirai qu'une telle suite est régulière si θ=lim rn+1/rn existe (au sens large), est strictement plus grande que 1 et lorsque θ est algébrique, (rn) satisfait une relation de récurrence dictée par le polynôme minimal de θ. Les suites (n!), (2n), (└ π n┘) sont des exemples de suites régulières.
Durant cet exposé, j'expliquerai pourquoi les suites régulières fournissent des exemples d'expansions superstables de (Z,+,0). -
20 septembre et 04 octobre 2019:
Vincent BAGAYOKO, Nombres surréels.
    Résumé: Au cours de ces deux exposés, je présenterai la définition par H. Gonshor du corps ordonné des nombres surréels de J. H. Conway et j'exposerai une méthode permettant de voir chaque nombre surréel comme une transsérie.
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31 mai 2019 (salle: Pentagone 3E10):
Cédric Milliet, Algèbre pseudo-linéaire sur un corps gauche. (3/3)
    Résumé: Suite de l'exposé du 03/05. Je donnerai quelques propriétés de la dimension définie dans le précédent exposé et dirai comment l'utiliser pour montrer qu'un corps gauche NIP de car. p est de dimension finie sur son centre. -
10 mai 2019 (salle: Pentagone 3E10):
Cédric Milliet, Algèbre pseudo-linéaire sur un corps gauche. (2/3)
    Résumé: Suite de l'exposé du 03/05. -
3 mai 2019 (salle: Pentagone 3E10):
Cédric Milliet, Algèbre pseudo-linéaire sur un corps gauche. (1/3)
    Résumé: Soit D un corps gauche muni d'un morphisme d'anneau \sigma, d'une \sigma-dérivation \delta et d'une transformation "pseudo-linéaire" \theta=\sigma.a+\delta. Je présenterai quelques résultats concernant la structure des sous-ensembles de D^n (appelés \theta-affines) définis par un système d'équations linéaires f(x_1,...,x_n)=0 où f:D^n->D est du type f_1(x_1)+...+f_n(x_n)+c avec c\in D et f_i:D->D un opérateur linéaire de la forme a_0x+a_1\theta(x)+...+\theta^n(x). On peut notamment définir la "dimension" d'un ensemble \theta-affine, et cette dimension a de très bonnes propriétés. Lorsque D est commutatif de caractéristique p, \sigma le Frobenius et \delta=0, on retrouve des résultats classiques sur les ensembles définis par des polynômes additifs. -
5 avril 2019 (salle: Pentagone 3E11):
Nathanaël Mariaule, Le Théorème de Ax-Kochen et Ershov (4/4).
    Résumé: Fin de la preuve du théorème AKE. -
29 mars 2019 (salle: Pentagone 3E10):
Nathanaël Mariaule, Le Théorème de Ax-Kochen et Ershov (3/4).
    Résumé: Suite de la preuve du Théorème d'élimination des quantificateurs de Pas. -
22 mars 2019 (salle: Pentagone 3E11):
Nathanaël Mariaule, Le Théorème de Ax-Kochen et Ershov (2/4).
    Résumé: Preuve du Théorème d'élimination des quantificateurs de Pas. -
15 mars 2019 (salle: Pentagone 3E11):
Nathanaël Mariaule, Le Théorème de Ax-Kochen et Ershov (1/4).
    Résumé: Soit K un corps valué hensélien de caractéristique résiduelle 0. Le théorème de Ax-Kochen et (indépendamment) Ershov nous dit que la théorie de ce corps valué (dans le langage des corps valués) est déterminée par la théorie de son corps résiduel (dans le langage des corps) et par celle de son groupe de valeurs (dans le langage des groupes ordonnés). Dans cet exposé, je présenterai ce résultat ainsi qu'une preuve de celui-ci passant par un résultat d'élimination des quantificateurs dû à Pas. -
8 mars 2019 (salle: Pentagone 3E11):
Maja Volkov, Corps valués (3/3).
    Résumé: Suite et fin de l'exposé du 15/02. Introduction aux corps valués. -
22 février 2019 (salle: Pentagone 3E10):
Maja Volkov, Corps valués (2/3).
    Résumé: Suite de l'exposé du 15/02. Introduction aux corps valués. -
15 février 2019 (salle: Pentagone 3E10):
Maja Volkov, Corps valués (1/3).
    Résumé: Présentation du corps des nombres p-adiques. -
14 décembre 2018 (salle: Pentagone 0A11):
Françoise Point, Clôture algébrique et dimension en théorie des modèles (3/3).
    Résumé: Suite et fin de l'exposé du 23/11. L'exposé portera sur differentes notions de dimensions dans le corps des reels muni de la fonction exponentielle. -
7 décembre 2018 (salle: Vésale 30):
Quentin Brouette, Clôture algébrique et dimension en théorie des modèles (2/3).
    Résumé: Suite de l'exposé du 23/11. On parlera de dimension dans le corps des réels.Nathanaël Mariaule, Expansions de l'arithmetique de Presburger et Lemme d'echange (3/3).
    Résumé: Suite et fin de la preuve du théorème principal vu lors de l'exposé du 16/11. -
23 Novembre 2018 (salle: Pentagone 3E10):
Quentin Brouette, Clôture algébrique et dimension en théorie des modèles (1/3).
    Résumé: J'expliquerai quelles sont les propriétés nécessaires pour définir une notion de dimension à partir de la clôture algébrique (acl introduite la semaine dernière par Nathanaël), de la même manière que la dimension est introduite en algèbre linéaire. A travers différents exemples, nous verrons que la dimension donnée par acl reflète des propriétés algébriques ou topologiques.Nathanaël Mariaule, Expansions de l'arithmetique de Presburger et Lemme d'echange (2/3).
    Résumé: Suite de l'exposé du 16/11. L'exposé sera consacré a la preuve du théorème principal de la séance précédente. -
16 Novembre 2018 (salle: Batiment 4, salle 119):
Nathanaël Mariaule, Expansions de l'arithmetique de Presburger et Lemme d'echange (1/3).
    Résumé: Soit G un groupe ordonné élémentairement équivalent à celui des entiers. Soit L une expansion du language de Presburger et soit T la L-théorie de G. Dans cet exposé, j'introduirai les propriétés suivantes que peut avoir T: (1) la propriété d'échange, (2) la Presburger-minimalité. Puis, je ferai le lien entre ces deux propriétés, généralisant un résultat de Michaux-Villemaire.